كل شي تبونه بالرياضيات موجود-جمع -طرح...الخ
- بادئ الموضوع الصابرة المحتسبة
- تاريخ البدء
لقسمة عدد على عدد مثلا 347625 ÷ 5 نتبع الخطوات التالية:
أولا: نكتب عملية القسمة بالطريقة المطولة أي على شكل هندل . كما يأتي حله في الأسفل .
ثانيا: نكتب تحت المقسوم عليه وهو العدد 5 جدول ضربه بالعدد (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 ) كما موضح في الأسفل .
ثالثا: نبدأ بعملية القسمة 347625 ÷ 5 وذلك نتبع الخطوات التالية:
أ) نسأل الطلاب أو الطالبات هل العدد 3 يقبل القسمة على 5 وبعد ذلك يستنتجوا أن 3 لاتقبل القسمة على 5 أي أن المقسوم أصغر من المقسوم عليه.
ب) نأخذ المنزلة الذي بعدها لكي يصبح العدد 34 ونسأل الطلاب أو الطالبات هل العدد 34 يقبل القسمة على 5 وبذلك يقبل العدد القسمة على 5 لأن المقسوم أكبر من المقسوم عليه .
ت) ثم نسأل الطلاب أو الطالبات مالعدد الذي مضروب في 5 يعطي الناتج 34 أو أصغر منه مباشرة ، وبذلك
ينظر الطلاب أو الطالبات نواتج ضرب العدد 5 المكتوب تحت المقسوم عليه ليكتشفوا العدد الذي يساوي أو أصغر من34 مباشرة وهو الناتج 30 وبذلك
نسأل الطلاب أو الطالبات ماهو العدد المضروب في 5 ليصبح الناتج 30 وبعد ذلك يكتشفوا العدد هو 6 من عملية الضرب 5 × 6 = 30 .
وبعد ذلك نكرر الخطوات ( أ ، ب ، ت ) بنفس الطريقة مع بقية الأعداد حتى النهاية
أولا: نكتب عملية القسمة بالطريقة المطولة أي على شكل هندل . كما يأتي حله في الأسفل .
ثانيا: نكتب تحت المقسوم عليه وهو العدد 5 جدول ضربه بالعدد (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 ) كما موضح في الأسفل .
ثالثا: نبدأ بعملية القسمة 347625 ÷ 5 وذلك نتبع الخطوات التالية:
أ) نسأل الطلاب أو الطالبات هل العدد 3 يقبل القسمة على 5 وبعد ذلك يستنتجوا أن 3 لاتقبل القسمة على 5 أي أن المقسوم أصغر من المقسوم عليه.
ب) نأخذ المنزلة الذي بعدها لكي يصبح العدد 34 ونسأل الطلاب أو الطالبات هل العدد 34 يقبل القسمة على 5 وبذلك يقبل العدد القسمة على 5 لأن المقسوم أكبر من المقسوم عليه .
ت) ثم نسأل الطلاب أو الطالبات مالعدد الذي مضروب في 5 يعطي الناتج 34 أو أصغر منه مباشرة ، وبذلك
ينظر الطلاب أو الطالبات نواتج ضرب العدد 5 المكتوب تحت المقسوم عليه ليكتشفوا العدد الذي يساوي أو أصغر من34 مباشرة وهو الناتج 30 وبذلك
نسأل الطلاب أو الطالبات ماهو العدد المضروب في 5 ليصبح الناتج 30 وبعد ذلك يكتشفوا العدد هو 6 من عملية الضرب 5 × 6 = 30 .
وبعد ذلك نكرر الخطوات ( أ ، ب ، ت ) بنفس الطريقة مع بقية الأعداد حتى النهاية
كيف تشرح القسمة على رقمين بابسط مفهوم ؟
=================
السلام عليكم
اذا كانت لدينا المسئلة التالية: اوجد ناتج ما يلي :
458÷21 =
اذا اردنا حلها بالقسمة المطولة نستطيع ذلك لكن بعض الطلبة يجد فيها صعوبة لذلك لماذا لا نحلها افقيا ؟؟
اولا نقسم 4÷21 حيث نقول 4 قسمة 21 او قسم 4 على 21 أو وزع 4 على 21 فيكون جواب الطلبة صفر لأنه لا يمكن توزيع 4 على 21 ( حاليا لانهم لم يأخذو القسمة و يكون الناتج عددا عشريا ) .
ثم نقسم رقمين 45 ÷ 21= بمجرد ان تقرا 45 قسمة 21 سيقولون صعب لذلك قل لهم ان يخفو رقم الآحاد
فتصبح المسألة 4÷2 و يكون الناتج 2 اذن نضرب 2×21=42 و يتبقى 3 من 45 .
نضع الباقي بجانب العدد الأخير فيصبح 38 و نقسمه على 21 و أيضا نخفي الآحاد فتكون المسالة 3÷2= و يبقى 1 إذن النانج هو 21 و ايضا نستخرج الباقي نضرب 1×21=21 و كم تبقى من 38 ؟؟ تبقى 38-21=17 اذن :
458÷21=21 و الباقي 17 .
الفكرة من الشرح هنا أن اذا ارت القسمة على رقمين اخفي رقم الآحاد سيعطينا الجواب تقريبا ( اقرب ما يكون للناتج ) .
و يمكن ان نستخدم القسمة المطولة و لكن لا تنسى
الفكرة ان تخفي رقم الآحاد تساعد كثيرا في معرفة الناتج
=================
السلام عليكم
اذا كانت لدينا المسئلة التالية: اوجد ناتج ما يلي :
458÷21 =
اذا اردنا حلها بالقسمة المطولة نستطيع ذلك لكن بعض الطلبة يجد فيها صعوبة لذلك لماذا لا نحلها افقيا ؟؟
اولا نقسم 4÷21 حيث نقول 4 قسمة 21 او قسم 4 على 21 أو وزع 4 على 21 فيكون جواب الطلبة صفر لأنه لا يمكن توزيع 4 على 21 ( حاليا لانهم لم يأخذو القسمة و يكون الناتج عددا عشريا ) .
ثم نقسم رقمين 45 ÷ 21= بمجرد ان تقرا 45 قسمة 21 سيقولون صعب لذلك قل لهم ان يخفو رقم الآحاد
فتصبح المسألة 4÷2 و يكون الناتج 2 اذن نضرب 2×21=42 و يتبقى 3 من 45 .
نضع الباقي بجانب العدد الأخير فيصبح 38 و نقسمه على 21 و أيضا نخفي الآحاد فتكون المسالة 3÷2= و يبقى 1 إذن النانج هو 21 و ايضا نستخرج الباقي نضرب 1×21=21 و كم تبقى من 38 ؟؟ تبقى 38-21=17 اذن :
458÷21=21 و الباقي 17 .
الفكرة من الشرح هنا أن اذا ارت القسمة على رقمين اخفي رقم الآحاد سيعطينا الجواب تقريبا ( اقرب ما يكون للناتج ) .
و يمكن ان نستخدم القسمة المطولة و لكن لا تنسى
الفكرة ان تخفي رقم الآحاد تساعد كثيرا في معرفة الناتج
قابلية القسمة على بعض الأعداد :
1) قابلية القسمة على 2
يقبل عدد ما القسمة على 2 إذا كان آحاده صفر أو عدداً زوجياً .
2) قابلية القسمة على 3
يقبل عدد ما القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3
3) قابلية القسمة على 4
يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4 و 00
4) قابلية القسمة على 5
يقبل عدد ما القسمة على 5 إذا كان آحاده ( 0 أو 5 )
5) قابلية القسمة على 6
يقبل عدد ما القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على ( 2 و 3 معا )
6) قابلية القسمة على 9
يقبل عدد ما القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9
7) قابلية القسمة على 10
يقبل عدد ما القسمة على 10 إذا كان آحاده صفر
8) قابلية القسمة على 11
يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )
9) قابلية القسمة على جداء ( ضرب ) عددين أوليين فيما بينهما
يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما
24 يقبل القسمة على 2 , 3 ـ 24 يقبل القسمة على 6
45 يقبل القسمة على 5 , 3 ـ 45 يقبل القسمة على 15
وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى باتباع القاعدة السابقة
ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لايعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة على 8 لأن 2 ،4 غير أوليين فيما بينهما
10) قابلية القسمة على 25
يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25 أو 00
11) قابلية القسمة على 1001 وأيضا 7 ، 11 ، 13
أي عدد مكون من ستة منازل (مراتب آحاد عشرات . . . ) إذا تكررت الأرقام الثلاث على التوالي
كان يقبل القسمة على 1001
وهو أيضا يقبل القسم على كل من الأعداد الأولية 7 ، 11 ، 13 لأن 1001 = 7 × 11 × 13
مثاله ( 123123 ) و ( 469469 ) و ( 775775 ) تقبل القسمة على (7 ، 11 ، 13 )وعلى إيجاد أي أثنين منها فهي تقبل القسمة على 77 ، 143 ، 91 . . .
الحساب الذهني بعض قواعده :
المبدأ رد العملية إلى عملية أبسط منها باستخدام بعض الخواص .
1) تقسيم عدد على 5
س ÷ 5 = س ÷ ( 10 / 2 ) = ( س × 2 ) / 10
أي لتقسيم عدد ما على 5 نضرب العدد بـ 2 ونقسم الناتج على 10
423 / 5 = 2 ×423 / 10 = 84.6
2) تقسيم عدد على 25
س / 25 = س / ( 100 / 4 ) = ( 4 × س ) / 100
لتقسيم عدد على 25 نضرب العدد بـ 4 ونقسم الناتج على 100
1265 / 25 = 4 × 1265 / 100 = 50.6
ملاحظه لتقسيم عدد على 2.5 اضرب العدد بـ 4 وقسم الناتج على 10
54 / 2.5 = 4 × 54 / 10 = 21.6 وهكذا
3) تقسيم عدد على 125
س / 125 = س / ( 1000 / 8 ) = ( 8 × س ) / 1000
لتقسيم عدد على 125 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 1000
4235 / 125 = 8 × 4235 / 1000 = 33.88
465 / 125 = 8 × 465 / 1000 = 3.72
ملاحظه لتقسيم عدد على 12.5 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 100
142 / 12.5 = 8 × 142 / 100 = 11.36
ملاحظه لتقسيم عدد على 1.25 نضرب العدد بـ 8 ونقسم الناتج على 10
45 / 1.25 = 8 × 45 / 10 = 36
عملية الضرب هي العملية المعاكسة للقسمة
4) ضرب عدد بـ 25
س × 25 = س × ( 100 / 4 ) = ( س / 4 ) × 100
لضرب عدد بـ 25 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 100
182 × 25 = (182 / 4 ) × 100 = 4550
ملاحظه : لضرب عدد بـ 2.5 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 10
65 × 2.5 = (65 / 4 ) × 10 = 162.5
ملاحضه : لضرب عدد 0.25 اقسم العدد على 4 فقط
456 × 0.25 = 456 / 4 = 114
5) ضرب عدد مؤلف من رقمين بـ 11
نجمع الأحاد والعشرات للعدد ونضعه بين الأحاد والعشرات اذاكان مجموعهما أصغر أو يساوي تسعه
مثال: 11× 15=165 حيث 6=5+1 ، 11×34=374 حيث 7=4+3
واذا كان حاصل جمع الآحاد والعشرات أكبر تماما من تسعه فإننا نضع الأحاد
الجديد بين الأحاد والعشرات ونجمع العشرات الجديد للعشرات القديم
مثال: 11× 37=407 حيث 7+3=10 تم وضع الصفر بينهما وجمع 1 إلى رقم العشرات 3 فأصبح 4
مثال: 11×86=946 وهكذا
ملاحظة : إذا كان العدد مؤلف من أكثر من رقمين ويراد ضربه بـ 11 نتبع
نضع رقم الآحاد كما هو ثم نجمع رقم الآحاد إلى العشرات ونضع آحاد الناتج ونضيف الباقي للمنزلة
التالية ونكرر كما فعلنا عندما كان مجموع رقمي العدد أكبرمن 9
567 × 11 = 6237
حيث تم وضع الآحاد 7 ثم تم (7+6)=13 ووضع آحاد الناتج عشرات وأضيف 1 إلى التالي ونكرر ما فعلناه
6)إيجاد عددين مؤلفين من رقمين يحققان
أ) مجموع رقمي الآحاد =10
ب) رقمي العشرات في العددين متساوي
القاعدة نضرب الأحاد بالآحاد ونضع بجانبه حاصل ضرب العشرات بالعددالتالي له
مثال: 23 × 27 = 621 ، حيث 3 × 7 = 21 و 2 × 3 = 6
مثال: 72 × 78 = 5616 حيث 2 × 8 = 16 و 7 × 8 = 56
وحالة خاصة منه تربيع عدد مؤلف من رقمين وآحاده = 5
75 × 75 = 5625 وكذلك 45 × 45 = 2025
7) توظيف بعض المطابقات في الحساب الذهني
أ) ب2 - حـ2 = ( ب - حـ ) ( ب + حـ )
جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم
39 × 41 = ( 40 - 1 ) ( 40 + 1 ) = 1600 - 1 = 1599
73 × 67 = ( 70 + 3 ) ( 70 - 3 ) = 4900 - 9 = 4891
ب) ( ب ± حـ )2 = ب2 ± 2 ب حـ + حـ2
وتستخدم لإيجاد مربع عدد بحيث يكون العدد القريب منه يمكن حساب مربعه بسهولة
41^2 = ( 40 + 1 ) 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
48^2 = ( 50 - 2 ) 2 = 2500 - 200 + 1 = 2301
8) لضرب عدد بـآخر ربما تكون أقدم الطرق وهي توزيع أحدهما على الأخر
وهي تحليل احدهما إلى عشرة أو مضاعفاتها
32×15 =32×(10+5)=320+160=480
153×17=153×(20 - 3) = 3060 - 459 = 2501
هذا ويمكن لك أن تستنتج وتستنبط قواعد أخرى على نفس المنوال
1) قابلية القسمة على 2
يقبل عدد ما القسمة على 2 إذا كان آحاده صفر أو عدداً زوجياً .
2) قابلية القسمة على 3
يقبل عدد ما القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3
3) قابلية القسمة على 4
يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4 و 00
4) قابلية القسمة على 5
يقبل عدد ما القسمة على 5 إذا كان آحاده ( 0 أو 5 )
5) قابلية القسمة على 6
يقبل عدد ما القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على ( 2 و 3 معا )
6) قابلية القسمة على 9
يقبل عدد ما القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9
7) قابلية القسمة على 10
يقبل عدد ما القسمة على 10 إذا كان آحاده صفر
8) قابلية القسمة على 11
يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )
9) قابلية القسمة على جداء ( ضرب ) عددين أوليين فيما بينهما
يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما
24 يقبل القسمة على 2 , 3 ـ 24 يقبل القسمة على 6
45 يقبل القسمة على 5 , 3 ـ 45 يقبل القسمة على 15
وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى باتباع القاعدة السابقة
ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لايعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة على 8 لأن 2 ،4 غير أوليين فيما بينهما
10) قابلية القسمة على 25
يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25 أو 00
11) قابلية القسمة على 1001 وأيضا 7 ، 11 ، 13
أي عدد مكون من ستة منازل (مراتب آحاد عشرات . . . ) إذا تكررت الأرقام الثلاث على التوالي
كان يقبل القسمة على 1001
وهو أيضا يقبل القسم على كل من الأعداد الأولية 7 ، 11 ، 13 لأن 1001 = 7 × 11 × 13
مثاله ( 123123 ) و ( 469469 ) و ( 775775 ) تقبل القسمة على (7 ، 11 ، 13 )وعلى إيجاد أي أثنين منها فهي تقبل القسمة على 77 ، 143 ، 91 . . .
الحساب الذهني بعض قواعده :
المبدأ رد العملية إلى عملية أبسط منها باستخدام بعض الخواص .
1) تقسيم عدد على 5
س ÷ 5 = س ÷ ( 10 / 2 ) = ( س × 2 ) / 10
أي لتقسيم عدد ما على 5 نضرب العدد بـ 2 ونقسم الناتج على 10
423 / 5 = 2 ×423 / 10 = 84.6
2) تقسيم عدد على 25
س / 25 = س / ( 100 / 4 ) = ( 4 × س ) / 100
لتقسيم عدد على 25 نضرب العدد بـ 4 ونقسم الناتج على 100
1265 / 25 = 4 × 1265 / 100 = 50.6
ملاحظه لتقسيم عدد على 2.5 اضرب العدد بـ 4 وقسم الناتج على 10
54 / 2.5 = 4 × 54 / 10 = 21.6 وهكذا
3) تقسيم عدد على 125
س / 125 = س / ( 1000 / 8 ) = ( 8 × س ) / 1000
لتقسيم عدد على 125 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 1000
4235 / 125 = 8 × 4235 / 1000 = 33.88
465 / 125 = 8 × 465 / 1000 = 3.72
ملاحظه لتقسيم عدد على 12.5 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 100
142 / 12.5 = 8 × 142 / 100 = 11.36
ملاحظه لتقسيم عدد على 1.25 نضرب العدد بـ 8 ونقسم الناتج على 10
45 / 1.25 = 8 × 45 / 10 = 36
عملية الضرب هي العملية المعاكسة للقسمة
4) ضرب عدد بـ 25
س × 25 = س × ( 100 / 4 ) = ( س / 4 ) × 100
لضرب عدد بـ 25 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 100
182 × 25 = (182 / 4 ) × 100 = 4550
ملاحظه : لضرب عدد بـ 2.5 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 10
65 × 2.5 = (65 / 4 ) × 10 = 162.5
ملاحضه : لضرب عدد 0.25 اقسم العدد على 4 فقط
456 × 0.25 = 456 / 4 = 114
5) ضرب عدد مؤلف من رقمين بـ 11
نجمع الأحاد والعشرات للعدد ونضعه بين الأحاد والعشرات اذاكان مجموعهما أصغر أو يساوي تسعه
مثال: 11× 15=165 حيث 6=5+1 ، 11×34=374 حيث 7=4+3
واذا كان حاصل جمع الآحاد والعشرات أكبر تماما من تسعه فإننا نضع الأحاد
الجديد بين الأحاد والعشرات ونجمع العشرات الجديد للعشرات القديم
مثال: 11× 37=407 حيث 7+3=10 تم وضع الصفر بينهما وجمع 1 إلى رقم العشرات 3 فأصبح 4
مثال: 11×86=946 وهكذا
ملاحظة : إذا كان العدد مؤلف من أكثر من رقمين ويراد ضربه بـ 11 نتبع
نضع رقم الآحاد كما هو ثم نجمع رقم الآحاد إلى العشرات ونضع آحاد الناتج ونضيف الباقي للمنزلة
التالية ونكرر كما فعلنا عندما كان مجموع رقمي العدد أكبرمن 9
567 × 11 = 6237
حيث تم وضع الآحاد 7 ثم تم (7+6)=13 ووضع آحاد الناتج عشرات وأضيف 1 إلى التالي ونكرر ما فعلناه
6)إيجاد عددين مؤلفين من رقمين يحققان
أ) مجموع رقمي الآحاد =10
ب) رقمي العشرات في العددين متساوي
القاعدة نضرب الأحاد بالآحاد ونضع بجانبه حاصل ضرب العشرات بالعددالتالي له
مثال: 23 × 27 = 621 ، حيث 3 × 7 = 21 و 2 × 3 = 6
مثال: 72 × 78 = 5616 حيث 2 × 8 = 16 و 7 × 8 = 56
وحالة خاصة منه تربيع عدد مؤلف من رقمين وآحاده = 5
75 × 75 = 5625 وكذلك 45 × 45 = 2025
7) توظيف بعض المطابقات في الحساب الذهني
أ) ب2 - حـ2 = ( ب - حـ ) ( ب + حـ )
جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم
39 × 41 = ( 40 - 1 ) ( 40 + 1 ) = 1600 - 1 = 1599
73 × 67 = ( 70 + 3 ) ( 70 - 3 ) = 4900 - 9 = 4891
ب) ( ب ± حـ )2 = ب2 ± 2 ب حـ + حـ2
وتستخدم لإيجاد مربع عدد بحيث يكون العدد القريب منه يمكن حساب مربعه بسهولة
41^2 = ( 40 + 1 ) 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
48^2 = ( 50 - 2 ) 2 = 2500 - 200 + 1 = 2301
8) لضرب عدد بـآخر ربما تكون أقدم الطرق وهي توزيع أحدهما على الأخر
وهي تحليل احدهما إلى عشرة أو مضاعفاتها
32×15 =32×(10+5)=320+160=480
153×17=153×(20 - 3) = 3060 - 459 = 2501
هذا ويمكن لك أن تستنتج وتستنبط قواعد أخرى على نفس المنوال
ماذا تقول ؟
،
هل تلاحظ أن الكسر
مكتوب على أبسط صورة !!
تُرى أيهما أبسط
أم
؟
لنلاحظ الكسور التالية :
إنها مكتوبة على أبسط صورة .
يمكننا تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على عامل مشترك أكبر من الواحد .
ويمكننا أن نقسم البسط والمقام أكثر من مرة ....
إنها مكتوبة على أبسط صورة .
الكسر المكتوب بأبسط صورة هو الكسر الذي لا يمكن قسمة بسطه ومقامه على عدد غير الواحد .
لنأخذ الكسر
ونشاهد كيف يمكننا كتابته بأبسط صورة .
يمكننا تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على عامل مشترك أكبر من الواحد .
الشكل التالي يبين الواحد الصحيح وقد قسم إلى ثلاثة أقسام متساوية .
إذن هذا الشكل يدل على أن الواحد الصحيح يتكون من ثلاثة أثلاث
الواحد الصحيح يتكون من أربعة أرباع
نلاحظ هنا أن بسط الكسر = مقام الكسر
الشكل المجاور يمثل العدد (2)
الشكل المجاور يوضح أن العدد2يتكون منأربعةأنصاف
الشكل المجاور يوضح أن العدد2يتكون منأربعةأنصاف
الشكل المجاور يوضح أن العدد2يتكون من ستة أثلاث
الشكل المجاور يوضح أن العدد2يتكون من ثمانيةأرباع
.... وهكذا
الكسر الدال على العدد (2) اثنين الصحيح يكون بسطه ضعفي مقامه.
َ
لاحظ أن البسط هنا هو ثلاثة أضعاف المقام.
َ
لاحظ أن البسط هنا هو أربعة أضعاف المقام.
فيما يلي أشكالٌ مُتطابقةٌ قُسِّمت بِطرُقٍْ مُخْتلفةٍ
جزء من الأجزاء الثلاث المتساوية ملون بالأخضر .
جزءان ملونان بالأخضر من الأجزاء الستة المتساوية .
لاحظ أن الكسرين
،
متساويان لأنهما يمثلان نفس الأجزاء .
